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本文为“第三届数学文明征文竞赛

海伦公式

作者: 陆行进

作品编号：028

一、你从哪里来

前期的算术和几安在古代人们的日子中起了不小的效果，他们从实践日子中产生了计数以及衡量方面的根本运算，在土地丈量和简易工程方面获得了必定的几许常识。但他们的效果都是经历常识的效果，那时只需数学方面的常识能敷衍实践日子中的问题，人们就感到满意了。

对上古年代的人来说，仅仅由于日子需求的唆使，人们才去寻求常识，为了常识自身而去寻求常识的观念，一向要比及希腊人来进行。希腊人经过对天然现象的详尽调查和理性考虑，开展出一种归纳、笼统、推理的才干，他们不只在数学的各个部分作出了明显的、永存的奉献，并且还为它们今后的开展奠定了永久的根底。

数学的笼统和谨慎，是一种共同的看待国际的办法，这种办法来自于希腊古典时期，这个时期指的是大约从公元前600年继续到公元300年的这一段时刻，涌现出像泰勒斯（公元前625年—前547年），毕达哥拉斯（公元前572年—前501年），欧几里得（公元前330年—前275年）和阿基米德（公元前287年—212年）等灿烂的名星。希腊人坚持演绎推理作为数学证明中仅有的办法是为数学作出的最重要的奉献，它使得数学从木匠的东西盒和丈量学等实践布景中解放出来。从此今后，人们开端靠理性而不是凭感觉去判别什么是正确的，正是依托这种判别，希腊人创造了咱们今日所看到的这门学科，为人类文明、科技进步拓荒了路途。

希腊人专心于自己的理念国际，在罗马强壮的军事力量面前一触即溃，从公元前212年叙拉古城陷落于罗马的马塞卢斯之手阿基米德被杀戮到公元30年，罗马正式成为帝国，对西方国际行使着前所未有的控制。

阿基米德在数学景象上投入了长长的影子，这今后的古代数学家尽管都有自己的建树，但却没有人可以比得上叙拉古城这位巨大的数学家。阿基米德之后的数学家有两位值得介绍，其间一位是阿波罗尼奥斯（公元前约262—190年），其代表作《圆锥曲线》被公以为是圆锥曲线问题的威望论说，当近二千年今后的开普勒作出他关于行星以椭圆形轨迹环绕太阳运动的独创性理论时，圆锥曲线的重要性得到了证明，椭圆绝不只仅古希腊数学家手中好玩的珍品，它成为地球和地球上咱们整体人类运转的轨迹。《圆锥曲线》这部巨作与欧几里得的《几许本来》和阿基米德的作品并排成为古希腊数学的里程碑。

另一位便是阿波罗尼奥斯之后亚历山大的海伦（约公元前1世纪—公元1世纪之间）咱们对他的生平知之甚少，现代人一般以为其活动时期为公元75年前后。海伦无疑受古希腊理性思维的影响在数学上有很深的造就。跟着希腊数学的式微，他的爱好倾向于实践方面。他的许多作品都触及了有用科学，如机械学、工程学和丈量学，在某种意义上也反映了希腊人与罗马人爱好的天壤之别。海伦在其《经纬仪》一书中介绍了发掘穿山地道及核算泉流流量的办法，在另一部作品中，他答复了一些日常的日子问题，如“为什么用膝盖在一根木棍的中心用力顶，木棍会简略折断？”或许“为什么人们用钳子而不必手拔牙？”之类的问题。当然，海伦的代表作是《衡量》一书，首要评论了各种几许图形的面积和体积的核算，其间就包含咱们要点要介绍的后来以他的姓名命名的关于三角形面积的公式，出自《衡量》一书中的出题Ⅰ8，海伦对这一出题的证明是古典几许笼统推理的模范。

二、教我怎么不想她

三角形面积的规范公式十分简略——，使用广泛，可是，假如用这个公式去求如图1中的三角形面积还要费些弯曲，由于咱们还不知道三角形的高。图1

三角形具有稳定性，已知一个三角形的三条边，其面积必定是确认的，这也可以直接从全等三角形“SSS”断定定理推导出来，例如，任何边长等于4、13、15的其他三角形必定与图1中的三角形全等，因而其面积也彻底持平。

怎么确认这一面积值呢？现代的咱们具有三角学的常识和代数变形才干，可以毫无困难的求出这个值。可是，最简洁的办法仍（像两千年前相同）是使用海伦公式，其公式用现代符号表明便是：假如k是边长等于a、b、c的三角形的面积，那么

在使用海伦公式时，咱们只需知道三角形的三条边，直接核算就行了，而无须求出三角形的高。

这是一个十分特别的公式，公式中呈现的半周长好像十分古怪，而4个数的乘积的平方根也令咱们大部分人厌烦，这个代数运算令人头痛，可是，作为一个巨大的定理，引起咱们留意的不只要它的独特，还有海伦为此所作的证明。

海伦的证明只用了一些简略的平面几许概念，也便是说，咱们初中生就能彻底弄懂，可是，海伦向咱们展现了他精深的几许技巧，他将一些初等几许的常识组合成一个十分丰富而美丽的证明，既弯曲，又十分奇妙，可谓数学中一个令人拍案叫绝的定论。

海伦的证明需求用到一些根本出题，这些出题对咱们来说都不生疏：

出题1：三角形的角平分线交于一点，这个交点是三角形内切圆的圆心，简称心里。

出题2：从直角三角形的极点作斜边的垂线，则垂线两头的三角形别离与原直角三角形类似，并相互类似。

出题3：在直角三角形中，斜边的中点与三个角的极点间隔持平。

出题4：已知ABCD是一个四边形，衔接对角线AC与BD，假如∠BAC=∠BDC=90°，那么A、B、C、D四点共圆。

出题5：圆内接四边形的对角和等于两个直角。

海伦将这些出题作为“元素”，连同他那熟练的几许技巧，带给咱们一个关于三角形面积的证明。

定理：已知一个三角形，其边别离为a、b、c，记面积为k，那么，其间，是三角形的半周长。

设恣意三角形，为了使海伦的证明明晰易懂，咱们将证明分红三大部分。

榜首部分：把面积k表明出来

海伦的榜首步就出其不意，由于他首要作了一个三角形的内切圆，用三角形的心里作为确认其面积的关键因素，而圆的性质与三角形这种直线形的面积没有直观的联络。

如图2，作的内切圆，咱们显然有面积 图2

海伦在三角形的面积k与其半周长s之间建立了联络，这说明方向走对了，当然，后边还有许多事情要做。

第二部分：把公式表达式中的线段表明出来图3

如图3，延伸BA至G，使AG=CE则有

因而 s-c=AG

s-b=BG-AC

=（BD+AD+AG）—（AF+CF）=BD

同理 s-a=AD

这样，半周长s与s-a，s-b和 s-c三个量都等于图中的线段。这是赋有启发性的定论，由于这些量都是咱们所求证公式的组成部分，剩余的作业便是要把这些“零件”组合成一个完好的证明。

第三部分：证明的中心：找出有关量的联系如图4，作交AB于K，然后作

所以，

因故

所以

又

得

因而

结合（1）得

咱们把这个等式两头+1

可得

通分兼并简化为

留意到在中，且OD=r依据射影定理，因而，把这个效果代入（2）可得穿插相乘，咱们有，两头一起乘以BG，即

终究，海伦将许多“零件”组合，敏捷而奇妙地达到他所求证的定论，只需留意到（3）式的组成部分恰恰是第二步分所推导出的线段，将第二部分的效果代入，便得到

因而，由榜首步，k代表三角形的面积，终究代入上列等式，就得到海伦公式

这可以说是初等几许中最奇妙的一个证明。在证明过程中，海伦看似随意地周游，实践上一直朝着预订方针行进，这无疑是咱们所见到的最弯曲的证明。很难幻想，脑力的回旋居然引导海伦得出了这样一个回肠荡气、令人惊叹的证明。

三、你真美啊，请逗留一下

发现一个问题是一回事，而证明是别的一回事。海伦是怎么得到这一公式的？或许说这个美好的公式究竟是不是海伦创造的？这些都已无法讲究，但不管怎么，咱们亲眼目睹了海伦对这一公式的美好的证明，也算吉星高照了。

跟着三角学的鼓起和代数学的开展，现代的咱们可以用多种办法来证明海伦公式，但海伦为咱们供给的证明无疑是咱们所见到过的最美好的数学内容。下面咱们用另一种办法来再现海伦公式的证明，但这儿重要的不是咱们从头求得这个公式或证明这个公式，而是在这个过程中充沛体会数学的美学意境。

数学是一门具有其特别完美性的艺术，像画家和诗人的形式相同，数学家的思维也有必要和谐一致，丑恶的数学在世上永无存在之地。一个彻底合格的数学证明，有必要要经得起两种彻底不同类型的评判：作为理性的证明，它有必要合乎逻辑、令人信服；一起还要美丽，富于启发性，可以给人以情感上的满意。也便是说你的证明既要契合逻辑，也要美丽，两者缺一不可。

这会使咱们构成一个经历：改善你的证明。对某一数学问题，或许咱们现已给出了答案，但这并不意味着它便是最佳的铨释，咱们要力求削减其间不必要的紊乱或杂乱之处，而找到一种彻底不同但却能让咱们愈加深化地了解问题的办法。

让咱们从头来看海伦公式。

如图5，设三角形三边别离为a、b、c，首要，咱们从三角形一边上的极点向底边作一条垂线，所以三角形的面积k就可以表明为k=ch，这样一来，问题就变成了怎样用边来表明高.高将底边分红两部分，设为x和y，这样原始的三角形就被分红了两个直角三角形，运用勾股定理，咱们有这正是我国古代秦九韶《九章算术》中的“三斜求积公式”。

到这一步，咱们成功地用a,b,c表达出了三角形的面积。

但留意，这样的代数表达式在美感上是令人无法承受的。

回到开始动身的当地，咱们的问题是，在已知三条边的情况下求出一个三角形的面积。在相等地对待三条边的意义上，这个问题可以说是彻底对称的。三条边中，并没有哪一条边更“特别”，特别是，这个问题自身并没有触及底边（咱们在求解的过程中，把作为了底边），这意味着，在代数上，不管终究的面积表达式是怎样的，符号a、b、c的位置应该是相等的，它们在面积表达式中必定是对称的，也便是说，假如咱们交流其间一切的a或b或c，那么表达式应该会坚持不变。

因而，对三斜求积公式，咱们有必要进一步化简：好了，现在看起来更像是效果了，由于咱们总算看到了对称，等式也变得恰当美丽。

千万不要忽视了对称性，在许多情况下，它都是咱们所具有的最强有力的数学东西，惋惜咱们的“三斜求积公式”没有抵达这一步。

当然，①式和②式在数学内容上，其实并没有真实改动任何东西，关于面积怎样取决于边长，这两个等式所表达的意义彻底相同——面积和边长之间的本质联系，并没有由于咱们做了一些灵敏的代数恒等式变形而改动，但咱们应该建立这样的理念，数学关乎的并不只仅是真理，并且是完美的真理，仅仅得出三角形的面积公式并不满足，咱们还需求面积公式很美丽，现在，咱们总算如愿以偿：

这个式子看起来仍是有些杂乱，咱们经过引进一个恰当的中心量，可以使公式变得愈加美丽。这个中心量便是海伦公式中的，s代表三角形周长的一半（半周长），这样，三角形的面积就可以简略地表明为

沿着海伦所指引的方向，运用代数变形才干，咱们总算抵达一个美好的境地，这个美丽的公式开始呈现在海伦的作品里，正是由于这个原因，这个公式被称为海伦公式，特别值得留意的是，在海伦日子的年代，用不到这么多的代数，海伦必定不是以咱们的代数变形这种办法推出这个公式的，而海伦公式“逾越”三斜求积公式，正是古希腊数学家理性思维（美学思维）的威力地点。

英国数理逻辑学家、哲学家伯特兰?罗素在自传中回想了他青年时遇到的危机：

“有一条小路，穿过郊野，通向新南盖特，我常常单独一个到那里去观看落日，并想到自杀。

可是，我总算不曾自杀，由于我想更多地了解数学。”

罗素认识到数学中的美，他也恰如其分地描绘出了这种美：

“正确地说，数学不只具有真理，并且还具有极度的美——一种镇定和朴素的美，犹如雕塑那样，尽管没有任何引诱咱们软弱赋性的内容，没有绘画或音乐那样富丽的外衣，可是，却显现了极点的朴实和只要在最巨大的艺术中才干表现出来的严厉的完美。”

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