[渭南贷款]神秘的本福特定律

计算一下世界上237个国家的人口数量，你觉得其间以1最初的数会占多大份额，而以9最初的数又占多大份额呢？假如你的答复是都为1/9，祝贺你你是正常人，可是现实却不是如此：以1最初的数惊人的占到了27%，而以9最初的数却只占5%。下图能够很形象的展现出在各国人口数量问题上，以各个数字最初的数占了多大的份额（图片来自维基百科）。为什么会相差这么大呢？这正是奥秘的本福特规则在起作用。

本福特规则，也称为本福德规则，阐明一堆从实际日子得出的数据中，以1为首位数字的数的呈现机率约为总数的三成，挨近期望值1/9的3倍，推行来说，越大的数字，以它为首几位的数呈现的机率就越低；精确地数学表述为：在b进位制中，以数n起头的数呈现的机率为logb(n + 1) ? logb(n)。

在十进制中，首位数字呈现的概率为：

d123456789p30.1%17.6%12.5%9.7%7.9%6.7%5.8%5.1%4.6%

这个规则的发现，据说是因为本福特在翻对数表的时分发现前面几页被翻得很黑很褴褛，越往后越色彩越浅。由此他想到会不会是1最初的数字便是比其他数多，他计算了一下发现不出所料。其实这个对数表的工作真假难辨了，就像是牛顿说自己是被苹果砸到了头才发现的万有引力规则相同，只需终究的规则有用就能够了。

首要阐明一下本福特规则的适用范围这个规则是一个非常独特的规则，它的适用范围反常的广泛，简直一切日常日子中没有人为规矩的计算数据都满意这个规则。比方说世界各国人口数量、各国国土面积、账本、物理化学常数、数学物理讲义后边的答案、放射性半衰期等等数据竟然都契合本福特规则。值得一提的是，科学家还发现，计算物理的三个重要散布，Boltzmann-Gibbs散布，Bose-Einstein散布，Fermi-Dirac散布，也基本上满意Benford规则！（来历：李淼）

其次这个规则究竟仍是有适用范围的榜首，这些数据有必要跨度足够大，有必要横跨好几个数量级才干发生这个成果。

第二，有人为规矩的数据就不满意次规则，比方说手机号码、身份证号、发票编号等数据，显着不满意这种对数散布律。也便是说，本福特规则正是没有任何约束才显露出来的规则，越是对数据的发生有人为约束，越是不满意该规则。第三，数据不能通过人为润饰，随意人为修正的数据一般就不满意本福特规则了，比方当年闻名的安定公司造假案，他们的账本就没有满意本福特规则，因而这个奥秘的规则乃至能够用来判别是否财政造假。

那么究竟该怎么了解这个奥秘的规则呢？为何天然发生的数据会满意这么独特的一个规则，而不是均匀散布呢？

本福特规则发生的本源，就在于指数增加。这幅图能够直观的显现，假如一个变量随时间成指数增加的话，那么这个变量最初的数字跟着时间的改变就应该是如下图：（横轴代表时间，纵轴代表那个变量）

显着，在某时间你得到它以1最初的概率要大于9最初。而这是只取一个值的状况，假如是取很多的数据的话，在某时间你调查到他以1最初的数据数量就大于以9最初的数量了。而指数增加的方式在天然界是非常遍及的，只需一个变量的增加率和他的巨细成正比，成果就会是指数增加。比方说人类科技开展的速度大致和已有的科技成果成正比，所以人类的科技开展便是个指数增加；人口增加率会和已存在人口数成正比，因而没有资源约束的人口增加也是指数增加。指数增加是天然中极为遍及的一种改变规则，而这种改变规则能够直接导致本福特规则。

别的一种直观的解说（来自维基百科）是这样的从数数目来说，次序从1开端数，1,2,3,…,9，从这点完结的话，一切数首先的时机好像相同，但9之后的两位数10至19，以1首先的数又大大抛离了其他数了。而下一堆9首先的数呈现之前，必然会通过一堆以2,3,4,…,8首先的数。若果这样数法有个完结点，以1首先的数的呈现率一般都比9大。

就以一个城市的一切门牌号为例，有的大街门牌号可能在100多就完毕了，有的在500多完毕，有的在900多完毕。注意到500多完毕那条街必定包括了1、10+和100~199这些1最初的门牌号，而不包括9最初的百位数，只包括9及90+的以9最初的数，这样一来显着以1打头的就多于9打头的了。然后对整个城市的一切大街做一个归纳，终究就满意本福特规则了。

以上仅仅直观的了解，假如想深究它的底子原理，能够拜见它的证明Hill, T. P. “A Statistical Derivation of the Significant-Digit Law.” Stat. Sci. 10, 354-363, 1996.。

别的，值得一提的是，本福特规则满意标准不不变性，即假如咱们换一套单位制，本福特规则依然建立。其实，这也能够作为大天然发生的计算数据满意该规则的一个解说：假如咱们把本来的单位是米的计算数据换一个单位，例如换成英尺或许公尺，那么计算数据的散布应当不变。而仅有满意这种标准不变性的散布，应当是某种对数散布，也便是本文的主角本福特规则。
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